Den sjove historie og spændende matematik bag papirstørrelse!
Har du nogensinde undret dig over, hvordan papirstørrelser defineres? Den mest almindelige papirstørrelse du og jeg bruger nok er A4. Hvis du arbejder med eksponering eller forskellige tekniske discipliner, ville du kende til andre papirstørrelser såsom A0, A1, A2 osv. ISO 216:2007 definerer de fleste af de internationale papirstørrelser, hvorimod andre ISO-standarder såsom ISO 269 og ISO 217 dækker resten.
Men hvor kom disse normer fra?
Hvad eksisterede før disse normer og definitioner?
Hvem fandt på disse specifikke tal?
Og hvorfor?
Nå, det er et interessante spørgsmål. Det viser sig, at der er en rig og mystisk matematisk historie bag opfindelsen af papirstørrelsesstandarder.
Matematikken som sådan er subtil, men alligevel dyb. I denne artikel starter jeg med historien og fortsætter med at udforske matematikken bag papirstørrelsesstandarderne. Til sidst berører jeg det smukke menneskelige aspekt, som også er subtilt indlejret i udtrykket af denne teknologi. Så læn dig tilbage, slap af og nyd artiklen!
Historien
Georg Christoph Lichtenberg var en kendt tysk fysiker og satiriker i det 18. århundrede. Han blev hædret som en ekstraordinær professor i fysik ved universitetet i Göttingen og var kendt for at være en af de første videnskabsmænd, der introducerede eksperimenter med apparater i deres forelæsninger.
Han opretholdt også forbindelser med andre store tyske skikkelser fra den æra, såsom Johann Wolfgang von Goethe og Immanuel Kant. Den legendariske matematiker Karl Friedrich Gauss er kendt for at have overværet Lichtenbergs foredrag. Han er også kendt for sin opdagelse af trælignende elektriske udladningsmønstre, som blev kendt som Lichtenberg-figurer.
Blandt den række af videnskabelige problemer, som han løste på det tidspunkt, interesserede Lichtenberg sig specifikt for standardisering af papirstørrelse. Han ønskede at udlede en standard, der ville muliggøre den perfekte skalering af indholdsstørrelsen på papir. Perfekt skalering her ville hverken betyde spild eller mangel på plads på papir på tværs af en række potentielt standardiserede forstørrelsesforhold.
Han stillede dette som et øvelsesproblem til en af sine britiske algebrastuderende. Eleven kom med et specifikt forhold, der har den foretrukne egenskab (mere om forholdet senere). Da Lichtenberg forsøgte at anvende dette forhold praktisk på et ark papir, blev han glædeligt overrasket over, at datidens papir i Tyskland allerede havde dette forhold.
I et brev til Johann Beckmann i 1786 udtrykte han usikkerhed om, hvorvidt dette forhold var opstået på grund af tradition (naturligt), eller om det kom fra præcise matematiske beregninger. Uanset hvad, er denne historie den første registrerede forekomst af matematikken bag papirstørrelsesstandarderne, som følges indtil i dag.
Forholdet √2
√2 er et meget interessant tal i matematikken. Når du anvender Pythagoras sætning på en retvinklet trekant, der har enhedslængde og enhedshøjde, viser længden af hypotenusen sig at være √2.
Diagonalen af et enhedskvadrat ville derfor også være √2. √2 er et irrationelt tal med en uendelig decimalværdi på 1,4142135623730950488016887…
Hvad Lichtenberg (og hans elev) fandt ud af er, at når et ark papir behandles som et rektangel, hvis længste side er √2 gange den korte side, skaleres papirstørrelsen uden hverken spild eller mangel sammen med forstørrelse.
Vi vil se, hvordan dette fungerer matematisk om lidt. Men først hjælper det måske at forstå dette begreb geometrisk.
Overvej et A0-ark papir. Den er rektangulær med mål på 841 mm x 1189 mm. Hvis du folder det på midten langs dens længste side, vil hver foldet side repræsentere et A1-ark hver. Folder du de to A1-ark langs deres respektive længste sider, ender du med fire A2-ark. Gentagelse af processen ville give otte A3-ark, seksten A4-ark, toogtredive A5-ark, fireogtres A6-ark, 128 A7-ark og 256 A8-ark hver gang.
Dette er grunden til, at moderne printere hurtigt kan skalere printbart indhold til forskellige papirstørrelser. For eksempel, hvis man ønsker at spare papir, kan man først krympe siderne i en bog (digitalt) til A6-skala og derefter udskrive bogen på et A4-ark. Hvert A4-ark ville så indeholde 4 sider af bogen (på hver side), og derved komprimere information-til-mellemrum-forholdet.
Hvad er specielt ved √2?
Kan du huske, da jeg fortalte dig, at vi vil afdække matematikken bag forholdet? Nå, det er det. Det viser sig, at matematikken bag dette forhold er ret enkelt og ligetil.
Lad os overveje et ark papir, hvis længste side er ‘a’ enheder lang og den korte side er ‘b’ enheder lang. Hvis vi folder dette papir langs dets længste side, ville vi ende med to ark papir, hver med en længere side, der er b enheder lang, og en kortere side, der er ‘a/2’ enheder lang.
Når vi nu replicerer Lichtenbergs øvelsesproblem til sin algebraelev, kræver vi, at forholdet mellem den lange side og den kortere side bevares i det større ark papir såvel som de to mindre ark papir (efter foldningen). Så bliver dette et simpelt matematisk problem, der kan løses som følger:
Når vi løser problemet matematisk, bliver det klart, hvorfor forholdet ikke kan være andet end √2, når vi kun betragter positive længder.
Resten er historie
Efter Lichtenberg offentliggjorde dette, publicerede franskmændene i 1798 en lov om beskatning af papir, som viste sig at være en direkte forfader til de nuværende ISO-normer.
W. Porstmann hævdede i en artikel fra 1918, at papirstørrelsesstandarderne også skal inkorporere det involverede overfladeareal. Han argumenterede også for, at konvolutter af nævnte papirstørrelser skulle være 10 % større. På grund af hans indflydelse udgav den tyske industris standardiseringskomité (Deutsches Institut für Normung — DIN) DIN 476 for fire serier af papirer, hver med et billedformat på √2.
A0-størrelsen blev defineret til at have et overfladeareal på 1 kvadratmeter (841 mm x 1189 mm), når den blev afrundet til nærmeste millimeter. A4 blev anbefalet som standard papirstørrelse til forretningsmæssige og administrative aktiviteter. A6 blev anbefalet til postkort. Serie B-arkene var baseret på B0 med en bredde på 1 meter. Serie C-arkene blev udviklet som grundlag for kuvertformater.
Spol frem til i dag, disse standarder er blevet vedtaget af næsten alle lande undtagen nogle få, såsom Nordamerika, Peru, Colombia osv.
Yderligere matematisk betydning
Forholdet mellem √2 har nogle kontraintuitive egenskaber.
Portræt og Landskab
Vi har hidtil set, at vi kan placere to A5-ark i ét A4-ark. Lad os sige, at vi er interesserede i at trykke i landskab frem for portræt. Hvor meget skal vi formindske det originale A4-indhold (stående) for at passe to sider på et enkelt A4-ark i liggende retning? Intuitionen siger 50%.
Men da billedformatet er √2, skal vi kun skrumpe indholdet med 70 % og ikke 50 %. Dette skyldes, at (1/√2) = 0,7071…, hvilket er omtrent lig med 70% (0,70).
Geometrisk middelværdi
Det viser sig, at konceptet med den geometriske middelværdi er meget nyttigt, når det kommer til emballering af forskellige papirstørrelser. For eksempel er kuvertstørrelsen C2 den geometriske middelværdi mellem A2 og B2. På samme måde er hele C-seriens formater geometriske middelværdier mellem de tilsvarende A-serie- og B-serienumre.
Afsluttende tanker
Da jeg startede undersøgelsen af dette emne, havde jeg konstant en lineal og målebånd ved min side. Jeg prøvede at måle størrelsesforholdet af enhver rektangulær form, der fangede mig æstetisk.
Blandt objekter, som jeg målte, var: mit skrivebord, skærm, musemåtte, tablet, en æske med chokolade, en rektangulær plade, bøger osv. De rektangulære former, der fascinerede mig mest, havde et forhold mellem 1,31 og 1,64 (√2 = 1,4142…).
For det første blev jeg overrasket over, hvor mange genstande omkring mig, der havde den rektangulære form. Jeg var ikke så meget opmærksom på deres form, som efter jeg begyndte at arbejde med dette emne. For det andet var jeg virkelig overrasket over, hvor meget min æstetiske smag var tilpasset forholdet √2.
Om dette er noget, jeg har lært gennem kulturel betingning, eller om dette er et fænomen, der opstår i naturen, er noget, jeg er usikker på. For nu er alt, hvad jeg kan gøre, at værdsætte det faktum, at der er et smukt menneskeligt aspekt ved dette udover den rene matematik.
Nogle gange kommer den dybeste af erkendelser fra de simpleste observationer!
Referencer: Lichtenberg (brev til Johann Beckmann) og Loi sur le timbre — nr. 2136 (fransk lov om beskatning af papir).
Jeg håber, du fandt denne artikel interessant og nyttig. Hvis du gerne vil støtte mig som forfatter, så overvej at klappe, følge med og abonnere.
