Euklids primtalssætning, også kendt som Euklids bevis for uendeligheden af primtal, er et klassisk matematisk resultat, der blev præsenteret af den gamle græske matematiker Euklid i sit værk “Elementer” omkring 300 f.Kr. Dette sætning siger, at der er uendeligt mange primtal.
Sætningen formuleres ofte ved hjælp af en modsætningsmetode, det vil sige ved at antage, at der kun er et endeligt antal primtal og derefter nå frem til en modsætning. Her er en grundlæggende gennemgang af beviset:
- Antagelse om begrænset antal primtal:
Lad os antage, at der kun er et endeligt antal primtal, og lad dem være (p_1, p_2, … , p_n). - Overvej tallet (P):
Betragt tallet (P = p_1 · p_2 · … · p_n + 1). Dette tal er konstrueret ved at tage produktet af alle de antagne eksisterende primtal og tilføje 1. - P’s forhold til primtal:
Da (P) ikke kan være deleligt med nogen af de antagne primtal (p_1, p_2, … , p_n) (fordi det efterlader en rest på 1, når det deles med hvert af dem), må (P) enten være et primtal i sig selv, eller det har en primtalsfaktor, der ikke er inkluderet i vores oprindelige antagelse. - Konflikt med den oprindelige antagelse:
Uanset scenariet fører det til en konflikt med vores oprindelige antagelse om, at der kun er et endeligt antal primtal, fordi (P) er enten et nyt primtal eller har en primtalsfaktor, der ikke er blevet betragtet. - Konklusion:
Konflikten antyder, at vores antagelse om, at der kun er et endeligt antal primtal, må være forkert. Derfor må der være uendeligt mange primtal.
Euklids primtalssætning er et klassisk eksempel på anvendelsen af modsætningsmetoden i matematisk bevisførelse og har en enkel, men kraftig logik. Det illustrerer også, hvordan matematikere bruger logiske ræsonnementer for at afdække fundamentale sandheder om tal.
