Et primtal er et naturligt tal større end 1, der ikke kan deles uden rest af andre tal end 1 og tallet selv. Med andre ord er et primtal et heltal, der kun har to positive divisorer: 1 og tallet selv. For eksempel er 2, 3, 5, 7, 11 og 13 alle primtal, fordi de kun er delelige med 1 og tallet selv.
Det fundamentale træk ved primtal er, at de ikke kan faktoriseres yderligere ved at multiplicere to mindre hele tal. Hvis et tal har flere end to positive delere, kaldes det et sammensat tal.
Primtalsstudier, en gren af talteori, er blevet praktiseret siden antikken og har en central rolle i matematikkens udvikling. Primtal spiller også en vigtig rolle i moderne kryptografi, hvor sikkerheden af visse kryptografiske algoritmer er baseret på særheden ved at faktorisere store sammensatte tal.
Vigtige teoremer om primtal
Der er flere vigtige teoremer og resultater inden for talteori, der omhandler primtal. Her er nogle af de mest bemærkelsesværdige:
- Fundamentalteoremet om Aritmetik:
Ethvert naturligt tal kan faktoriseres som et produkt af primtal, og denne faktorisering er entydig op til rækkefølgen af faktorerne. - Euklids primtalssætning:
Der er uendeligt mange primtal. Beviset, der er tilskrevet den gamle græske matematiker Euklid, antager modsætningen og demonstrerer, hvordan man kan konstruere et nyt primtal, der ikke er inkluderet i den oprindelige liste. - Wilsons sætning:
Et naturligt tal (p) er et primtal, hvis og kun hvis ((p−1)!≡−1). Dette er en karakterisering af primtal ved hjælp af kongruenser. - Dirichlets primtalsætning:
For enhver parvis indbyrdes prim relaterede positive heltal (a) og (b) vil aritmetisk rækkefølger af formen (an+b), hvor (n = 0, 1, 2, 3, …), indeholde uendeligt mange primtal. - Bertrands postulat:
Hvis (n > 1) er et heltal, så er der altid mindst ét primtal (p) sådan, at (n < p < 2n). - Den prikkefrie sætning:
Der findes en uendelig lang aritmetisk rækkefølge af naturlige tal, der indeholder ingen primtal. Dette blev bevist af den franske matematiker Émile Borel. - Guldbachs formodning:
Ethvert lige tal større end 2 kan udtrykkes som summen af to primtal. Dette er en formodning, men den er ikke bevist eller modbevist indtil videre. - Fermats lille sætning:
Hvis (p) er et primtal og (a) er et heltal, der ikke er deleligt med (p), så er ap−1≡1. - Mersennes primtal:
Primtal af formen (2^n – 1), hvor (n) er et positivt heltal, kaldes Mersennes primtal. Et Mersennes primtal er primt, hvis og kun hvis (n) selv er et primtal.
Disse teoremer og sætninger illustrerer nogle af de dybere egenskaber ved primtal og har bidraget til at forme talteoriens udvikling gennem historien.
