Fibonacci-sekvensen

Omkring år 1170 blev en mand født, der hed Leonardo Bonacci, Leonardo af Pisa eller Leonardo Bigollo Pisano – almindeligvis kendt som Fibonacci – som skrev en bog kaldet “Liber Abaci”, hvori han præsenterede det hindu-arabiske talsystem og mange problemer.

Bogen udgjorde – såvel som løste – et problem, der involverede kaninpopulationen. Problemet havde tre grundlæggende ting, der definerede det:

  • Et enkelt nyfødt kaninpar (en han og en hun) sættes på en mark.
  • Kaniner er i stand til at parre sig i en alder af en måned, så en hun i slutningen af dens anden måned kan avle endnu et par kaniner.
  • Kaniner dør aldrig, og et parringspar avler altid et nyt par (en han og en hun) hver måned fra den anden måned af.

Problemet ville så være at spørge, hvor mange par kaniner vil der være på et år? At svare på dette er ret simpelt. Lad os definere Fn til at være mængden af par kaniner i den n’te måned.

Der vil altid blive født et par kaniner, så efter en måned vil de parre sig og den næste måned vil der blive født endnu et par kaniner. På grund af dette vil antallet af par for den sidste måned forblive, og alle de kaninpar, der er to måneder eller mere, vil have parret sig og vil have fået et par kaniner som unger. Derfor har vi noget der kunne kaldes en regel for den ene måned til den anden:

Husk at vi startede med et par kaniner, og at vi i den næste måned også vil have et, fordi de først kan parre sig den næste måned. Så vi har vores udgangspunkt. Hvor n = 12 vil denne sekvens give mængden af kaniner, vi er interesserede i, så lad os regne det ud:

Og dermed vil vi efter et år have 144 par kaniner i alt. Denne sekvens, vi så har fundet, kaldes Fibonacci-sekvensen. Ville du tro mig, hvis jeg sagde til dig, at der findes et par tal – kald dem a og b – sådan at:

Hvortil du kan svare – Hvad er de tal så?! – ja, disse tal er to ret specifikke og relative par. Desuden er disse tal par de mest irrationelle tal, der findes. Ja, det er rigtigt, det mest irrationelle. Hvorfor? Spørger du måske. Overvej værdien af dette:

Hvis du skulle beregne dette – langsomt – vil du komme tættere og tættere på et tal, det tal er præcis a – og teknisk set b. Okay, hvis dette er tallet, hvorfor beregner vi det så ikke? Jamen, lad os gøre det:

Nå, se lige det, der er faktisk to løsninger. Hvis vi skulle beregne dem ved hjælp af formlen for at finde rødderne, ville vi have:

Nu kalder vi normalt det første tal – a – phi, og det andet – b – kaldes det konjugeret af phi. Ved at erstatte deres værdier i formlen, jeg viste ovenfor – med for eksempel n = 12:

Hvilket er præcis det svar, vi ledte efter. Beviset for en sådan kendsgerning vil jeg dog ikke vise her.

Bo Jönsson

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *

four × 4 =